W 1997 roku ukończył Wydział Aktorski warszawskiej Akademii Teatralnej. Od razu po studiach został zaangażowany przez Piotra Cieplaka do Teatru Rozmaitości w Warszawie. W latach 2001-2010 był członkiem zespołu Teatru Powszechnego. Od 2010 roku ponownie związany jest z TR Warszawa.
Adam Woronowicz spotkał się z Piotrem Cieplakiem jeszcze w czasie studiów, podczas pracy nad przedstawieniem dyplomowym – "Historią Jakuba" wg III aktu Akropolis Stanisława Wyspiańskiego. Po kilku latach, na zadane w wywiadzie pytanie, czy czuje się aktorem Cieplaka, odpowiadał ("Teatr" 2001, nr 10):
Od pewnego czasu zastanawiam się nad tym. Zagrałem w trzech przedstawieniach - nie licząc dyplomu - które on wyreżyserował - "Historii Jakuba" w Teatrze Współczesnym we Wrocławiu, "Testamencie psa" w Rozmaitościach i ostatnio w "Królu Learze" w warszawskim Teatrze Powszechnym, Jeśli za kryterium przyjąć liczbę, to trudno powiedzieć, że jestem aktorem Cieplaka. "Być czyimś aktorem" – to poważne słowa. Ja jednak czuję się jego aktorem. (...) U Piotrka nawet w największej ciemności, w największym zamęcie znajdzie się szczelina, przez którą przeziera światło. Może dlatego jest mi łatwiej podążać za nim - jest jakaś nadzieja.
Na deskach warszawskiej Akademii Teatralnej Woronowicz zagrał także m.in. Terezjasza w "Antygonie" Helmuta Kajzara w reżyserii Bożeny Suchockiej (1997) i Pana Tona w "Joko świętuje rocznicę" Rolanda Topora w reżyserii Piotra Cieślaka (1997).
W Teatrze Rozmaitości wystąpił m.in. w przedstawieniach Piotra Cieplaka, jako Zbój w moralitetowej opowieści "Historii o miłosiernej czyli testamencie psa" Ariano Suassuny (1997) i jako Nienarodzony/Wąż w nieudanym przedstawieniu "Skóra węża" Slobodana Snajdera (1998). W Rozmaitościach współpracował także z Piotrem Tomaszukiem, zagrał Wawrzka/Kulawego Pintado w "Słowach Bożych" Ramona del Valle-Inclana (1998) i z Krzysztofem Warlikowskim, wcielił się w postać Laertesa z Szekspirowskiego "Hamleta" (1999).
W 2000 roku ponownie pracował z Tomaszukiem. W przedstawieniu "Ofiara Wilgefortis" Piotra Tomaszuka inspirowanym prozą Olgi Tokarczuk "Dom dzienny, dom nocny" przygotowanym w Towarzystwie "Wierszalin" zagrał Jezusa Chrystusa. Pokazał chłopięcą, bezbronną i wzruszającą postać Oblubieńca odbiegającą od ikonograficznego wizerunku Chrystusa.
Kolejne role Woronowicza w spektaklach Cieplaka to: postać Jakuba z "Historii Jakuba" wg III aktu Akropolis Stanisława Wyspiańskiego zrealizowanej we wrocławskim Teatrze Współczesnym (2001) i rola Edgara w "Królu Learze" Szekspira wystawionym w warszawskim Teatrze Powszechnym (2001). Roman Pawłowski pisał w "Gazecie Wyborczej":
(...) obok Leara w wykonaniu Zapasiewicza jest to najlepsza rola spektaklu" - pisał o Edgarze w wykonaniu Woronowicza Roman Pawłowski. - "Pod maską wariata Edgar ukrywa głęboką miłość do ojca, której nie jest w stanie zniszczyć nawet odrzucenie.
Pierwszą rolą Woronowicza w klasycznym repertuarze rosyjskim, w którym wystąpi jeszcze z powodzeniem kilkakrotnie, była postać Chlestakowa z "Rewizora" Mikołaja Gogola w reżyserii Krzysztofa Zaleskiego z warszawskiego Teatru Ateneum (2002). Janusz R. Kowalczyk pisał w "Rzeczpospolitej":
Ciekawą rolę stworzył Krzysztof Gosztyła jako krewki i impulsywny Horodniczy. (...) Znakomicie sekundował mu Adam Woronowicz w roli Chlestakowa. Świetna jest zwłaszcza scena pierwszego zetknięcia się obu mężczyzn w hotelu, która przemienia się w intrygujący pojedynek jednostek równie chytrych, co zastraszonych.
Później aktor na deskach Teatru Powszechnego wcielił się w postać Piotra Wierchowieńskiego z "Biesów" wg Fiodora Dostojewskiego w reżyserii Rudolfa Zioły (2002). W czasie pracy nad "Biesami" Woronowicz mówił w wywiadzie dla "Rzeczpospolitej":
Trudno uprawiać ten zawód, zostawiając filozofię na boku. Można, oczywiście, wykonywać go w sposób formalny. Ja jednak potrzebuję wiedzieć, w jakim obszarze duchowym się poruszam. (...) Nawet grając szuję i łajdaka, trzeba dotrzeć do dna duszy takiego człowieka. To znacznie ciekawsze niż sama forma.
W Powszechnym Woronowicz zagrał także Maksyma Szczypcowa w "Historiach zakulisowych" Antoniego Czechowa w reżyserii Zbigniewa Zapasiewicza (2003) i Własa w "Letnikach" Maksyma Gorkiego w reżyserii Grzegorza Wiśniewskiego (2004). Spektakl Wiśniewskiego oceniano krytycznie, ale równocześnie zauważano dobrą grę Woronowicza, zresztą podobnie jak w przypadku "Biesów" Zioły. Piotr Gruszczyński pisał w "Tygodniku Powszechnym":
Jedyną rzeczą wartą ocalenia w tym przedsięwzięciu jest aktorskie usiłowanie świetnego Adama Woronowicza w roli Własa, ale w tak złym spektaklu nawet najlepszy aktor tonie.