Сын актера и режиссера Ежи Штура.
В 1999 году окончил психологический факультет Ягеллонского университета. Затем поступил на актерский факультет Высшей театральной школы в Кракове, которую окончил в 2003 году. Во время учебы стал одним из основателей кабаре «За жратвой». С 2004 по 2008 гг. служил в варшавском Драматическом театре. С 2008 года — в труппе Нового театра в Варшаве, которым руководит Кшиштоф Варликовский.
Дебютировал на сцене еще будучи студентом. В 2001 году сыграл Раскольникова в камерном спектакле «Преступление и наказание» по Достоевскому в постановке Богдана Чосека в «Театре Розрывки» («Развлечения») в Хожуве. В этом спектакле двух актеров партнером Штура был Хенрик Таляр.
«Стиснутые зубы, сомкнутые в узкую щель губы, полные гнева глаза — таков Раскольников, который делит людей на две категории и считает, что имеет право нарушать все законы, ломать все преграды на своем пути, не исключая убийства, — писала о дебюте актера Данута Любина-Ципиньская. — Едва волочащий ноги, с втянутой в плечи головой, с безумным блеском в глазах — это Раскольников затравленный, сломленный, отторгнутый, это вошь, а не человек. Поднимающий голову при чтении евангельского текста о воскресении Лазаря — это Раскольников в момент акта милосердия, человек, пробуждающийся к новой жизни. Во всех этих воплощениях виден безусловный актерский талант Штура. Но заметен и некоторый недостаток мастерства — прежде всего во взаимодействии с партнером по сцене» («Речь Посполитая», 12.03.2001).
В театре Штур-младший работал с режиссером Анджеем Домаликом. Он сыграл у него в спектаклях по мотивам русской классики. На сцене варшавского Драмтеатра он воплотил образ Хлестакова в гоголевском «Ревизоре» (2002), а также выступил в «Облом-оффе» Михаила Угарова по мотивам романа Гончарова (2005). Актер также сыграл в спектакле «Несравненная!» в постановке Домалика по пьесе Питера Куилтера в варшавском театре «Полония» (2007). В Драматическом театре Мацей Штур также сыграл Вершинина в пьесе «Сестры» Пера Улова Энквиста по мотивам знаменитой драмы Чехова в постановке Петра Чесьляка (2006). В 2005 году он выступал в варшавском театре «Рампа». Мацей Войтышко доверил ему главную роль энергичного и ироничного Кандида в музыкальном спектакле «Кандид, или Оптимизм» по Вольтеру. Одной из лучших театральных ролей Мацея Штура оказался Джо Портер Питт в спектакле Кшиштофа Варликовского «Ангелы в Америке» по пьесе Тони Кушнера, поставленном на сцене ТР Варшава (2007), где он выступил в составе опытной и дружной труппы Варликовского.
«До этого Мацей Штур никогда не играл у Варликовского, и это сразу бросается в глаза, но, как ни парадоксально, эта „чужеродность” работает на пользу его персонажа — Питта», — написал Януш Майхерек («Театр» 2007, № 5).
Актер участвовал также в следующих спектаклях Варликовского: в «(А)поллонии» по текстам Эврипида и Ханны Кралль (2009, Новый Театр Варшава), «Конце», «Варшавском Кабаре» (2013) и «Французах» по мотивам произведений Марселя Пруста (2015).
Штура неоднократно спрашивали, как психология повлияла на его понимание актерского мастерства.
«Дело в том, что роль строится не на теории, а на опыте, — отвечал он. — На фантазии, переживаниях, размышлениях. Она обусловлена тем, что ты именно таков, каков ты есть. Когда на репетициях в театре мы анализируем своих персонажей, то ищем соответствующие примеры из своей жизни — это помогает нам их представить. Таких примеров я знаю сотни по своей учебе. Психология развила мою восприимчивость к другим людям, любопытство и открытость для встречи с ними» («Zwierciadło», 2005, № 1).
Молодого актера, который завоевал популярность и симпатию зрителей также в качестве артиста кабаре, часто спрашивали о мотивах, которыми он руководствовался, выбирая актерскую профессию.
«Мое преимущество, — говорил он, — и я никогда этого не скрывал, состояло в том, что у меня просто была возможность стать актером: я с детства наблюдал эту среду и провел очень много времени в Старом театре, где играл мой отец» («Dziennik Polski» 2005, № 6/8).
Перед кинокамерой Штур-младший впервые выступил в 1988 году, в десятом эпизоде «Декалога» Кшиштофа Кесьлевского. Три года спустя, в 1991 году, Мацей сыграл главную детскую роль в польско-французском фильме «Дети войны» режиссера Кшиштофа Рогульского. В конце 90-х Штур стал все чаще появляться в кино. В этот период он сыграл, в частности, Алекса в «Баловне удачи» («Fuks») Мацея Дуткевича (1999), Кубу Бреннера в «Парни не плачут» режиссера Олафа Любашенко (2000) и Кубу в еще одной комедии Любашенко — «Утро койота» (2001). За Штуром чуть было не закрепилось амплуа простого, бесхитростного парня, но ему удалось уйти от этого образа в очередных своих ролях: выпускника полицейской школы, который учится премудростям профессии у своего старшего товарища — бывалого копа (в этой роли Ежи Радзивилович) в мрачном криминальном сериале Владислава Пасиковского «Мент» (2004), а также кинооператора Матеуша в трагикомедии Войцеха Смажовского «Свадьба» (2004).