Studiował dyrygenturę u Stanisława Wisłockiego oraz teorię muzyki i kompozycję w Państwowej Wyższej Szkole Muzycznej w Warszawie, którą ukończył w 1975. W tym samym roku zadebiutował w Teatrze Wielkim w Warszawie, przygotowując nową realizację "Don Giovanniego" Wolfganga Amadeusa Mozarta. W następnym roku wystąpił po raz pierwszy w Operze w Düsseldorfie, gdzie dyrygował gościnnie przez dwa kolejne sezony. W 1978 został I dyrygentem Wielkiej Orkiestry Symfonicznej Polskiego Radia i Telewizji, w 1980 objął stanowisko dyrektora muzycznego tego zespołu. Odbył z nim kilka europejskich tournées, goszcząc na renomowanych festiwalach. W 1978 zdobył III nagrodę na Konkursie Dyrygenckim Herberta von Karajana w Berlinie Zachodnim. W tym samym roku wystąpił w Nowym Jorku.
W 1982 zamieszkał w Londynie, gdzie zadebiutował w Royal Festival Hall z Philharmonia Orchestra. W 1983 odbył wiele tournées z Chamber Orchestra of Europe, rozpoczął także współpracę z Capital Radio's Wren Orchestra, by niebawem zostać jej pierwszym dyrygentem. W tym czasie regularnie koncertował z londyńskimi orkiestrami: Philharmonia Orchestra, London Symphony Orchestra, London Philharmonic i Royal Philharmonic, jak również z orkiestrami brytyjskimi, m.in. Halle, Royal Scottish National, BBS Scottish i BBC National Orchestra of Wales, z którą zagrał po raz pierwszy w 1984 na BBC Henry Wood Promenade Concerts (BBC Proms). Na kontynencie dyrygował wieloma renomowanymi orkiestrami - Wiener Symphoniker, Orkiestrą La Scali, Bayerische Rundfunk, Rundfunk-Sinfonieorchester w Berlinie, Orchestre de Paris, Orquesta Nacional de España, National Symphony Orchestra w Dublinie, Chamber Orchestra of Europe (z którą odbył tournée po Australii), jak również orkiestrami filharmoniami: w Oslo, Sztokholmie, Roterdamie i Pradze. W latach 1991-95 był I dyrygentem i doradcą muzycznym Nord Nederland Orkest, w 1992 głównym dyrygentem gościnnym English Sinfonia. W 1993 wielkie uznanie zyskała jego interpretacja "VIII Symfonii" Gustawa Mahlera w Atenach (z Ateńską Orkiestrą Symfoniczną i London Symphony Chorus). Poza granicami Europy koncertował w Stanach Zjednoczonych (Cincinnati Symphony, San Diego Symphony), Kanadzie (Calgary Symphony, Winnipeg Symphony), Japonii (Yomiuri Nippon Symphony, Tokio Philharmonic) oraz Hong Kong Philharmonic i New Zealand Symphony. W 2004 zadebiutował w Chinach z China Philharmonic i Guangzhou Symphony, z którymi regularnie, każdego roku, występuje. Regularnie koncertuje też z Filharmonią Narodową, gdzie w latach 1996-98 był pierwszym gościnnym dyrygentem. Pracuje również z orkiestrą Sinfonia Varsovia. Łączy go też bliska współpraca z Warszawską Operą Kameralną i ze związaną z nią Warszawską Orkiestrą Symfoniczną.
Jacek Kaspszyk wysoko ceniony jest w dziedzinie opery. Dyrygował w wielu renomowanych teatrach, takich jak Deutsche Oper am Rhein w Düsseldorfie, Opera Comique w Paryżu ("Czarodziejski flet" Wolfganga Amadeusa Mozarta), Opéra de Lyon ("Sen nocy letniej" Benjamina Brittena, "Siedem grzechów głównych" Kurta Weilla), Opera de Bordeaux ("Eugeniusz Oniegin" Piotra Czajkowskiego), Królewska Opera w Sztokholmie, English National Opera ("Cyrulik sewilski" Gioacchina Rossiniego), Opera North Leeds ("Holender tułacz" Richarda Wagnera), Scottish Opera ("Zemsta nietoperza" Johanna Straussa), Opernhaus w Zurychu, Detroit Opera ("Straszny dwór" Stanisława Moniuszki), Teatro Colón w Buenos Aires ("Ubu Rex" Krzysztofa Pendereckiego) i Teatro de la Maestranza w Sewilli, a także prowadził "Turandot" oraz "Toskę" na Festiwalu Pucciniego w Torre del Lago.
W 1998 objął stanowisko dyrektora artystycznego i muzycznego, w 2002 również naczelnego Teatru Wielkiego - Opery Narodowej w Warszawie. Przygotował tu premiery m.in. "Don Giovanniego"," Zamku księcia Sinobrodego" i "Cudownego mandaryna" Béli Bartóka, "Ubu Rex", "Potępienia Fausta" Hectora Berlioza, "Salome" Richarda Straussa i "Wozzecka" Albana Berga. Z zespołem Opery występował m.in. w Teatrze Balszoj w Moskwie (2002), podczas Beijing Festival (2002) i w Teatrze Sadler's Wells w Londynie (2005), jak również odbył trzy tournées po Japonii. Od 2006 współpracuje z Operą Wileńską, dla której zrealizował "Walkirię" Wagnera i "Salome", prezentowane też na festiwalach w Lublanie i Rawennie (2007) oraz podczas rezydencji w Israeli Opera Tel Aviv - Yafo (2008).
Jacek Kaspszyk nagrywa dla wielu firm fonograficznych. Jego rejestracja "Il signor Bruschino" Rossiniego z zespołem Warszawskiej Opery Kameralnej zyskała doskonałe oceny krytyków brytyjskich, a Concerto lugubre Tadeusza Bairda z Wielką Orkiestrą Symfoniczną Polskiego Radia w Katowicach zostało uhonorowane Nagrodą Edisona. Nagrywał dla Collins Classics z czterema londyńskimi orkiestrami, m.in. "Obrazki z wystawy" Modesta Musorgskiego, "I Symfonię" Mahlera, "Also sprach Zarathustra" R. Straussa, "II Symfonię" Sergiusza Rachmaninowa i uwertury operowe Giuseppe Verdiego (Philharmonia Orchestra), dzieła Johanna Straussa i symfonie Franza Schuberta (London Philharmonic Orchestra), "Interludia orkiestrowe" Giacomo Pucciniego (Royal Philharmonic Orchestra). Z zespołem Teatru Wielkiego - Opery Narodowej zarejestrował "Straszny dwór" (EMI Classics), nagrodzony Platynową Płytą, "Ubu Rex" (CD Accord) i Króla Rogera (CD Accord) nominowanego do tytułu Nagranie Roku 2006 przez BBC Music Magazine.
Jacek Kaspszyk od 2006 jest dyrektorem artystycznym Orkiestry Filharmonii Wrocławskiej. Od 2009 pełni jednocześnie funkcję dyrektora muzycznego Narodowej Orkiestry Symfonicznej Polskiego Radia w Katowicach.
Jacek Kasprzyk był dyrektorem artystycznym i muzycznym Teatru Wielkiego - Opery Narodowej w Warszawie od 1998 roku. Zgodził się objąć tę funkcję dopiero za trzecim razem. W wywiadzie dla magazynu 'Studio' w 1999 roku mówił:
Pierwszą propozycję otrzymałem w 1981 roku. Byłem wówczas chyba trochę za młody. Wydawało mi się, że nie jestem w stanie zrealizować swoich planów artystycznych, a na kompromisy nie miałem ochoty. W 1996 roku znów zaproponowano mi tę funkcję, ale i wówczas odmówiłem, gdyż nie miałbym głosu decydującego w sprawach artystycznych.