Urodził się 5 maja 1974 roku w Opolu. W latach 1993-98 studiował w Akademii Muzycznej w Warszawie w klasie altówki Błażeja Sroczyńskiego oraz w klasie kompozycji Mariana Borkowskiego, którą ukończył z wyróżnieniem. Studiował również etnologię i filologię klasyczną na Uniwersytecie Warszawskim.
Od roku 1998 jest pracownikiem dydaktycznym Uniwersytetu Muzycznego im. Fryderyka Chopina w Warszawie, od 2016 pełni na tej uczelni stanowisko prorektora. Wykładał również w San Diego (Stany Zjednoczone), Weikersheim i Monachium (Niemcy) oraz w Taegu (Korea Południowa). W 2007 roku uzyskał stopień doktora sztuki w dziedzinie kompozycji, a w 2014 roku stopień doktora habilitowanego.
Aleksander Kościów był laureatem wielu konkursów kompozytorskich oraz stypendystą Fundacji Fulbrighta (2005). Jego utwory były wykonywane na wielu festiwalach i koncertach muzyki współczesnej w Polsce, m.in. podczas Międzynarodowyego Festiwalu Tradycji i Awangardy Muzycznej KODY, festiwalu Musica Polonica Nova we Wrocławiu oraz podczas Warszawskich Spotkań Muzycznych, a także za granicą (Francja, Japonia, Korea Południowa, Litwa, Niemcy, Rosja, Turcja, Ukraina, USA, Wielka Brytania, Włochy).
Kompozytor współpracował z Joe Alterem, amerykańskim choreografem baletu współczesnego, a także z wieloma zespołami kameralnymi i wokalnymi, m.in. z Kronos Quartet, Royal String Quartet, NeoQuartet, Kwartetem Camerata, kameralną orkiestrą London Sinfonietta, Zespołem Wokalnym Międzynarodowej Szkoły Muzyki Tradycyjnej, Hebrides Ensemble, sekstetem wokalnym ProModern oraz z zespołami Kwartludium i Cellonet.
Ewy Szczesińska tak pisała o kompozycji "Gożkie żale" w "Ruchu Muzycznym":
Trwający półtorej godziny utwór łączy ludową tradycję ze współczesnym opracowaniem instrumentalnym. Kościów zachował sporo z tradycyjnego kształtu nabożeństwa: proste, modalne śpiewy są wykonywane przez wychowanki Jana Bernada z Międzynarodowej Szkoły Muzyki Tradycyjnej w Lublinie (...). Białe głosy bez wibracji, dogłębnie wykorzystany rezonans głowy, siła i barwa głosów – wszystko zgodne z tradycją. Taki śpiew ma w sobie ogromną moc: natężenie dźwięków jest tak duże, że nie ma potrzeby użycia mikrofonów, a prosta, odarta z teatralności ekspresja działa z ogromną siłą. Wszystko to nadaje muzyce koloryt autentycznej wiejskiej modlitwy (...). Tradycyjny tekst i śpiew Alekander Kościów z wielkim wyczuciem skontrapunktował instrumentalnym akompaniamentem, który stanowi właściwie osobną warstwę utworu. Grali muzycy wiolonczelowego zespołu "Cellonet" prowadzonego przez Andrzej Bauera, oraz perkusiści Leszek Lorent i Szymon Linette. Partia w żaden sposób nie nawiązuje do tradycji ludowej: pod względem techniki gry, harmoniki i faktury skupia się raczej na kolorycie gęstych współbrzmień. Perkusja ograniczona do wielkiego bębna, dzwonów rurowych, triangla i kościelnych dzwonków, nadaje całości powagi – używana oszczędnie, najczęściej pod postacią krótkich, wyrazistych interludiów między kolejnym odcinkami tekstu. Chociaż wtopiona w gęstą warstwę wiolonczel, jest w istocie partią solową, wzbogaca muzykę o rys tajemnicy (...). To wzajemne "przegryzanie" kontrapunktów i akordów, nasycenie harmoniczne, nagromadzenie współbrzmień dysonujących sprawia, że wiolonczelowy oktet brzmi jak statyczne, ciemne tło; daje podstawę niczym dawne basso ostinato. Dostojność, pewność, a z drugiej strony niepokój i tajemnica, są wpisane w tę istotną warstwę utworu. Pärtowską ideę powtarzalności i prostoty skrzyżowanej z kolorystycznym nasyceniem (instrumenty) Kościów zestawił z autentycznością ludowych modlitw (śpiew) – mimo tak ogromnej odmienności zastosowanych środków powstała spójna, logiczna i bardzo przejmująca całość.
W roku 2013 ukazała się monograficzna płyta poświęcona twórczości Aleksandra Kościowa. Wydana została przez Związek Kompozytorów Polskich / Polskie Centrum Informacji Muzycznej we współpracy z Polskim Radiem jako część serii "Muzyka Polska Dzisiaj - Portrety Współczesnych Kompozytorów Polskich".
W latach 1996-98 Aleksander Kościów był sekretarzem Koła Młodych Związku Kompozytorów Polskich. Od 2002 jest członkiem zwyczajnym ZKP. Ponadto należy do Stowarzyszenia Laboratorium Muzyki Współczesnej, Akademii Fonograficznej oraz Stowarzyszenia Autorów ZAiKS.
Ważną dziedziną twórczości kompozytora jest literatura i publicystyka. W druku ukazały się cztery jego powieści: "Świat nura" (2006), nominowana do Paszportu Polityki "Przeproś" (2008), "Lecą wieloryby" (2010), "Lithaniae: dzieło jako krajobraz. Autorefleksja twórcy" (2013). Teksty na tematy muzyczne publikuje na łamach społeczno-kulturalnego dwumiesięcznika "Strony", z którym współpracuje od 2009 roku
Źródła: Polmic.pl, Chopin.edu.pl, aktualizacja: czerwiec 2016, AG.
