Naukę gry na fortepianie rozpoczął w wieku 6 lat. Później studiował w konserwatoriach w Lyonie i Strasburgu, w Akademii Muzycznej w Warszawie, na University of Southern California w Los Angeles. Swoje umiejętności doskonalił na kursach mistrzowskich we Włoszech u Fu Conga, Murray Perahii i Leona Fleishera.
Wykonanie "33 Wariacji na temat walca Diabellego" Ludwiga van Beethovena na Międzynarodowym Konkursie Pianistycznym w Leeds w 1990 otworzyło mu drogę do debiutu w Wigmore Hall w Londynie, a następnie do międzynarodowej kariery. Występuje z takimi orkiestrami, jak m.in. Berliner Philharmoniker, Münchener Philharmoniker, NDR Elbphilharmonie Orchester, London Symphony Orchestra, Royal Philharmonic Orchestra, Royal Concertgebouw, Boston Philharmonic, Chicago Symphony Orchestra, Philadelphia Orchestra, Los Angeles Philharmonic, NHK Symphony Orchestra, Scottish Chamber Orchestra, Sinfonia Varsovia, Deutche Kammerphilharmonie Bremen. Koncertował m.in. w Polsce, Holandii, Anglii, Irlandii, Niemczech, Francji, Austrii, Portugalii, Włoszech i Stanach Zjednoczonych (w Carnegie Hall; rejestracja koncertu z grudnia 2008 została wydana na płycie CD w 2009 przez EMI). Brał udział w ważnych imprezach pianistycznych, takich jak Ravinia Rising Stars Series, BBC Pebble Mill Celebrity Recital Series, International Piano Series w Queen Elizabeth Hall w Londynie.
Występuje także jako kameralista, m.in.: z Wiktorią Mułłową, z którą nagrał dwie płyty dla firmy Philips (sonaty Johannesa Brahmsa, Leoša Janáčka i Sergiusza Prokofiewa), Andrzejem Bauerem oraz siostrą Dorotą, skrzypaczką.
Piotr Anderszewski nagrał kilkanaście płyt CD. Wydana przez firmę CD Accord płyta z muzyką Johanna Sebastiana Bacha, Beethovena i Antona Weberna, została entuzjastycznie przyjęta przez krytykę i otrzymała nagrodę polskiego przemysłu fonograficznego – "Fryderyk '96". W 2000 pianista podpisał kontrakt płytowy z firmą Virgin Classics (obecnie Warner Classics/Erato). Za płytę z "33 Wariacjami na temat walca Diabellego" otrzymał nagrodę Diapason d'Or, Choc du Monde de la Musique, Editor's Choice for Gramophone i Recommandé par Classica. W 2006 CD z jego interpretacją utworów solowych Karola Szymanowskiego zostało wyróżnione Gramophone Classical Music Awards.
W 1994 artysta otrzymał "Paszport Polityki", w 2000 – Nagrodę im. Szymanowskiego, w 2001 – nagrodę Royal Philharmonic Society w kategorii instrumentalista roku 2000, w 2002 – Gilmore Artist Award. W 2015 roku uhonorowany Krzyżem Kawalerskim Orderu Odrodzenia Polski.