Naukę gry na skrzypcach rozpoczął w wieku 8 lat u Stefana Hermana i kontynuował ją u tego samego pedagoga w Państwowym Liceum Muzycznym i Państwowej Wyższej Szkole Muzycznej w Gdańsku (dyplom z wyróżnieniem w 1971).
Jako siedemnastolatek otrzymał wyróżnienie na Międzynarodowym Konkursie Skrzypcowym im. Niccolò Paganiniego w Genui, jednak drogę do sławy otworzył mu w 1964 Międzynarodowy Konkurs Radiowy ARD w Monachium, podczas którego zdobył I nagrodę. Od tego momentu rozpoczęła się jego światowa kariera.
Od 1966 Konstanty Andrzej Kulka koncertował na obu półkulach (we wszystkich krajach Europy, Stanach Zjednoczonych, Ameryce Północnej i Południowej, Japonii oraz Australii) - zagrał ponad 1500 recitali i koncertów symfonicznych. Jako solista był gościem wielu renomowanych orkiestr (m.in. Berliner Philharmoniker, Chicago Symphony Orchestra, London Symphony Orchestra, English Chamber Orchestra, Conertgebouw Amsterdam, Minneapolis Symphony Orchestra, Leningradzkej Filharmonii), uczestniczył w prestiżowych festiwalach muzycznych, m.in. w Lucernie, Bordeaux, Flandrii, Berlinie, Pradze, Barcelonie, Brighton, Warszawie. Szczególne miejsce w tournées artystycznych skrzypka zajmują występy z Orkiestrą Symfoniczną Filharmonii Narodowej, z którą w 1971 odbył najdłuższą podróż - po krajach Afryki i Azji oraz po Australii.
Od 1968 występował w duecie z Jerzym Marchwińskim. Uprawiał też kameralistykę jako członek Kwartetu fortepianowego Polskiego Radia i Telewizji (razem ze Stefanem Kamasą, Romanem Jabłońskim i Jerzym Marchwińskim).
Konstanty Andrzej Kulka ma na koncie wiele nagrań dla Polskiego Radia i Telewizji Polskiej oraz wytwórni Polskie Nagrania. W jego dorobku fonograficznym znajdują się koncerty m.in. Antonio Vivaldiego, Wolfganga Amadeusa Mozarta, Felixa Mendelssohna-Bartholdy'ego, Aleksandra Głazunowa, Édouarda Lalo, Béli Bartóka, Sergiusza Prokofiewa, Ludwiga van Beethovena, Johannesa Brahmsa, Mieczysława Karłowicza, Paula Hindemitha, Karola Szymanowskiego. Zarejestrował też wiele sonat i utworów wirtuozowskich. Wśród nagrań płytowych szczególne uznanie zyskały "Cztery pory roku" Vivaldiego z Orkiestrą Kameralną Karola Teutscha, koncerty skrzypcowe Mendelssohna-Bartholdy i Głazunowa z Orkiestrą Filharmonii Narodowej pod dyrekcją Jerzego Katlewicza, "Koncert skrzypcowy D-dur" Brahmsa z Orkiestrą Filharmonii Narodowej pod batutą Witolda Rowickiego, a także "Sonaty na skrzypce solo" Johanna Sebastiana Bacha. Nagrywa też dla zagranicznych radiofonii i firm płytowych. Jego nagranie "2. Koncertu skrzypcowego" Szymanowskiego dla EMI zostało w 1981 nagrodzone Grand Prix du Disque.
Ważne miejsce w repertuarze artysty zajmuje muzyka współczesna. Jest znakomitym interpretatorem utworów
Witolda Lutosławskiego,
Krzysztofa Pendereckiego (m.in.
"Koncertu skrzypcowego", który wykonywał wielokrotnie z różnymi orkiestrami pod dyrekcją kompozytora),
Henryka Hubertusa Jabłońskiego,
Augustyna Blocha,
Eugeniusza Knapika.
Konstanty Andrzej Kulka prowadzi jednocześnie działalność pedagogiczną - od 1994 jest profesorem
Akademii Muzycznej w Warszawie, gdzie jednocześnie kieruje Katedrą Instrumentów Smyczkowych.
Otrzymał wiele wyróżnień, nagród i odznaczeń, m.in. Nagrody Ministra Kultury i Sztuki, Nagrodę Ministra Spraw Zagranicznych "za wybitne zasługi w propagowaniu kultury polskiej za granicą", Krzyż Komandorski Orderu Odrodzenia Polski.
