Po ukończeniu klasy fortepianu w Państwowym Liceum Muzycznym w Katowicach, zdobył dwa dyplomy (z wyróżnieniem) w akademiach muzycznych: w Katowicach (teoria muzyki) i Bydgoszczy (śpiew solowy). Studiował też dyrygenturę symfoniczno-operową pod kierunkiem Jana Wincentego Hawla.
Jest założycielem i współzałożycielem wielu formacji wokalnych oraz wokalno-instrumentalnych. W 1998 powołał do życia zespół La Tempesta, z którym regularnie koncertuje i nagrywa muzykę od XVI do XX wieku w nurcie HIP (Historical Informed Performance). Jako solista wykonywał główne i drugoplanowe role w operach Charpentiera, Purcella, Vivaldiego, Haendla, Myslivečka, Mozarta, Krauzego i Zycha. Dokonał nagrania ponad 25 CD dla wytwórni BIS, ARTS, DIVOX, NAXOS, MUSICON oraz DUX. Album Vespers of Sorrow z kompozycjami A. Vivaldiego został okrzyknięty Nagraniem Roku przez portal Music Web International, a jego fragmenty wykorzystane jako ścieżka dźwiękowa do nagrodzonego na festiwalu w Cannes francuskiego filmu DIVINES. W latach 2009-12 występował w spektaklu "Umowa, czyli łajdak ukarany" Pierre'a de Marivaux w reżyserii Jacquesa Lassalle'a w Teatrze Narodowym w Warszawie. Jakub Burzyński jest kierownikiem artystycznym Festiwalu Muzycznego Barok w Radości, wieloletnim wykładowcą Letniej Szkoły w Kelč, Holešovie, Valticach, Velehradzie i Broumovie (Czechy), kierownikiem artystycznym Międzynarodowej Letniej Szkoły Muzyki Dawnej Schloss Scharfeneck oraz stałym prelegentem Festiwalu Cichej Muzyki w Toruniu.
Repertuar solowy Jakuba Burzyńskiego obejmuje muzykę dawną, klasyczną i współczesną, zarówno formy sakralne, jak również operowe i kameralne. Śpiewał z wieloma zespołami i orkiestrami, pod batutą takich dyrygentów, jak Roman Válek, Marek Toporowski, Łukasz Borowicz, Paweł Kos-Nowicki, Jacek Urbaniak i Agata Sapiecha. Koncertował - także jako dyrygent - w Filharmonii Narodowej w Warszawie, Filharmonii Śląskiej w Katowicach, Studiu Koncertowym im. Witolda Lutosławskiego w Warszawie, na Zamku Królewskim w Warszawie i Krakowie.
Występował na scenie Warszawskiej Opery Kameralnej w takich operach, jak "Rinaldo" Georga Friedricha Haendla (Goffredo), "Apollo i Hiacynt" (Hiacynt), "Mitridates" (król Pontu, Farnakes) Wolfganga Amadeusa Mozarta, "Balthazar" Zygmunta Krauzego (Mocarz). W 2008 odbyła się czeska prapremiera opery "Dorilla in Tempe" Antonio Vivaldiego, w której artysta kreował rolę Apolla/Nomia. W 2009 wziął udział w spektaklu "Umowa, czyli łajdak ukarany" Pierre'a de Marivaux w reż. Jacquesa Lassalle'a w Teatrze Narodowym w Warszawie. W 2010 zaśpiewał partię Ptolomeusza w operze "Juliusz Cezar" Haendla w Libercu (Czechy) i we Frankenthalu (Niemcy).
Jakub Burzyński nagrał kilkanaście płyt dla takich firm, jak BIS ("Antonio Vivaldi: Vespers of Sorrow" - 2004), Musicon ("Jasnogórska Muzyka Dawna" vol. 17 - 2007, vol. 33 i 34 - 2008), DUX ("Jasnogórska Muzyka Dawna" vol. 27 - 2007, vol. 28 i 29 - 2008), Stowarzyszenie "Musica Humana" ("Lacrimosa" i "Johann Sebastian Bach. Purification Mass" - 2008), Arts Music ("Johann Sebastian Bach. Purification Mass" - 2009). Krążek "Vespers of Sorrow" został uznany za płytę roku przez brytyjski portal internetowy Music Web International. Owocem tego wyróżnienia były zaproszenia do wykonania utworów Vivaldiego w Polsce (Warszawa, Cieszyn, Kraków) i za granicą (Wiedeń, Znojmo, Třebíč).
W 2009 artysta prowadził klasę śpiewu solowego podczas kursu muzyki dawnej w Kelč (Czechy). Jakub Burzyński od 2010 pełni funkcję prezesa Koła Muzyki Dawnej, działającego przy Stowarzyszeniu Polskich Artystów Muzyków SPAM.
W 2019 roku został nominowany do prestiżowej nagrody OPUS KLASSIK w kategorii Dyrygent Roku. Od 2020 roku współpracuje jako dyrygent z Polską Operą Królewską.
Autor: Małgorzata Kosińska, Polskie Centrum Informacji Muzycznej, Związek Kompozytorów Polskich, styczeń 2006, aktualizacja: listopad 2010, aktualizacja: ZLS, styczeń 2023.