Urodziła się 7 sierpnia 1977 roku jako córka śpiewaczki Jolanty Żmurko i waltornisty Ryszarda Kurzaka. W 2000 roku ukończyła z wyróżnieniem Wydział Wokalny Akademii Muzycznej we Wrocławiu, a następnie Hochschule für Musik und Theater w Hamburgu. Doskonaliła swoje umiejętności wokalne i aktorskie w Internationales Opern Studio przy hamburskiej Operze. W latach 1998-2000 otrzymała stypendium Ministra Kultury i Sztuki, w 1999 – stypendium fundacji "Crescendum Est - Polonia" Aleksandra Gudzowatego.
Jest laureatką wielu konkursów wokalnych w kraju i za granicą. W 1998 zdobyła I nagrodę i nagrody specjalne na 5. Międzyuczelnianym Konkursie Wokalnym w Dusznikach-Zdroju oraz I nagrodę i nagrody specjalne na 3. Międzynarodowym Konkursie Wokalnym im. Stanisława Moniuszki w Warszawie, gdzie jej występ uznany został za najlepszy debiut roku, w 1999 znalazła się w gronie laureatów i uzyskała nagrodę specjalną dla młodego talentu podczas Międzynarodowego Konkursu Wokalnego im. Mirjam Helin w Helsinkach, w 2000 – nagrodę Mozarteum i nagrodę publiczności na Międzynarodowym Konkursie Wokalnym im. Francisco Vinasa w Barcelonie, w 2000 – III nagrodę na Międzynarodowym Konkursie Wokalnym w Kantonie (Chiny), w 2002 – I nagrodę na Konkursie im. Elise Meyer w Hamburgu.
Aleksandra Kurzak jeszcze podczas studiów zadebiutowała jako Zuzanna w "Weselu Figara" Wolfganga Amadeusza Mozarta na scenie Opery we Wrocławiu. W 2001 w Teatrze Wielkim - Operze Narodowej w Warszawie wystąpiła jako Hanna w "Strasznym dworze" Stanisława Moniuszki. Ponadto śpiewała na najbardziej prestiżowych scenach świata, m.in. w nowojorskiej Metropolitan Opera (Olimpia w "Opowieściach Hoffmana" Jacquesa Offenbacha, Blonda w "Uprowadzeniu z Seraju" Mozarta, Gilda w "Rigoletcie" Giuseppe Verdiego), londyńskiej Royal Opera House Covent Garden (Aspasia w "Mitridate, Rè di Ponto" Mozarta, Norina w "Don Pasquale" i Adina w "Napoju miłosnym" Gaetano Donizettiego, Zuzanna oraz jako tytułowa Matylda w "Matilde di Shabran" Gioachino Rossiniego, Donna Fiorilla w "Turku w Italii", Rozyna w "Cyruliku sewilskim", Gidla i tytułowa "Łucja z Lammermooru"), Bayerische Staatsoper w Monachium (Kleopatra w "Juliuszu Cezarze" Georga Friedricha Haendla, a także Adela, Rozyna, Fiorilla, Adina i Rachel), Deutsche Staatsoper Unter den Linden w Berlinie (Królowa Nocy w "Czarodziejskim flecie" Mozarta), Teatro Regio w Parmie (Gilda), Teatro alla Scala w Mediolanie (Gilda, a także Adela w "Hrabim Ory" Rossiniego), Théâtre du Capitole w Tuluzie (Gilda), Welsh National Opera w Cardiff (Aspasia), Teatro Massimo w Palermo (Norina), Theater an der Wien (Donna Anna w "Don Giovannim" Mozarta, Amenaide w "Tankredzie" Rossiniego), Wiener Staatsoper (Rozyna w "Cyruliku sewilskim" Rossiniego oraz Adina, Zuzanna, Maria, Violetta i Gilda), Fińskiej Operze Narodowej w Helsinkach (Gilda), Lyric Opera House w Chicago (Blonda), w Operze w Los Angeles (Fiordiligi) i Operze w San Francisco (Gilda), Teatro Real w Madrycie (Zuzanna i Maria), Operze Narodowej w Warszawie (Gilda, Violetta i Łucja), w Teatro La Fenice (Donna Anna), w Zurychu (Gilda, Norina i Nedda), w Seattle (Łucja), w Operze paryskiej (Adina, Micaela), na Salzburger Festspiele (Anusia w "Wolnym Strzelcu" Carla Marii von Webera) oraz z NDR Orchester, Essen Philharmoniker, Hamburger Symphoniker, Hamburger Philharmoniker, orkiestrą Accademia Nazionale di Santa Cecilia w Rzymie.
Od 2001 do 2007 była solistką Staatsoper w Hamburgu. Występowała tu w takich operach, jak "Czarodziejski flet" (Królowa Nocy), "Wesele Figara" (Zuzanna), "Łaskawość Tytusa" (Servilia) i "Uprowadzenie z seraju" (Blonda) Mozarta, "Rigoletto" (Gilda) i "Falstaff" (Nanetta) Verdiego, "Zemsta nietoperza" Johanna Straussa (Adela), "Kawaler srebrnej róży" Richarda Straussa (Sophie), "Fidelio" Ludwiga van Beethovena (Marcelina), "Jaś i Małgosia" Engelberta Humperdincka (Małgosia), "Cyganeria" Giacoma Pucciniego (Musetta), "Der lächerliche Prinz Jodelet" Reinharda Keisera (Laura), "Zar und Zimmermann" Alberta Lortzinga (Maria), "Wolny strzelec" Webera (Anusia), "Powder her face" Thomasa Adèsa (Maid), "Turek we Włoszech" Rossiniego (Donna Fiorilla), "Córka pułku" Donizettiego (Maria).
Aleksandra Kurzak współpracowała z takimi dyrygentami, jak Ivor Bolton, Bruno Campanella, James Conlon, Sir Andrew Davis, Christoph von Dohnányi, Riccardo Frizza, Rafael Frühbeck de Burgos, Richard Hickox, René Jacobs, Fabio Luisi, Nicola Luisotti, Sir Charles Mackerras, Alessandro de Marchi, Ingo Metzmacher, Daniel Oren, Antonio Pappano, Carlo Rizzi, Ralf Weikert, Simone Young.
