Urodził się 9 kwietnia 1936 roku w Grodnie. Studiował kompozycję pod kierunkiem Piotra Perkowskiego (dyplom w 1962), grę na fortepianie u Jerzego Lefelda (dyplom w 1964) oraz dyrygenturę w klasie Bogusława Madeya (dyplom w 1969) w Państwowej Wyższej Szkole Muzycznej w Warszawie.
Jest laureatem wielu konkursów muzycznych: Ogólnopolskiego Konkursu Pianistycznego im. Ignacego Jana Paderewskiego w Bydgoszczy (1961, I nagroda), Ogólnopolskiego Konkursu Improwizatorskiego w Katowicach (1962, I nagroda), Konkursu Kompozytorskiego im. Artura Malawskiego w Krakowie oraz Konkursu Kompozytorskiego im. Grzegorza Fitelberga w Katowicach.
W latach 1970-72 był dyrygentem w Teatrze Wielkim w Warszawie, gdzie na Małej Scenie zrealizował prapremierowe spektakle: "Małego księcia" Zbigniewa Bargielskiego, "Julii i Romea" Bernadetty Matuszczak oraz "Baletów polskich" do muzyki Witolda Lutosławskiego, Zbigniewa Turskiego, Krzysztofa Pendereckiego i własnego utworu "Metafrazy" (1971). W 1972 stanął na czele zespołu wyłonionego z Warszawskiej Opery Kameralnej, który, od 1973 pod nazwą Polska Orkiestra Kameralna, zyskał międzynarodowy rozgłos. Zespół ten w 1984 przekształcił się w orkiestrę Sinfonia Varsovia. W 1973 podjął współpracę z Wielką Orkiestrą Symfoniczną Polskiego Radia, z którą odbył tournées m.in. po Austrii, a w 1974 i 1976 – po Stanach Zjednoczonych. W latach 1975-77 stał na jej czele jako pierwszy dyrygent i kierownik artystyczny.
Sukcesy odniesione podczas pierwszego tournée z Polską Orkiestrą Kameralną w 1977, zwłaszcza w Anglii, zaowocowały kontraktem na nagrania płytowe w firmie EMI i licznymi występami z orkiestrami brytyjskimi, m.in. z London Symphony Orchestra, London Philharmonic Orchestra, English Chamber Orchestra, Scottish Chamber Orchestra, BBC Philharmonic Orchestra, Philharmonia Orchestra, Royal Liverpool Philharmonic Orchestra. Występował również gościnnie z takimi orkiestrami jak Israel Chamber Orchestra, Los Angeles Chamber Orchestra, Tokyo Metropolitan Symphony Orchestra, Orchestre National de France, Sydney Symphony Orchestra, Calgary Symphony Orchestra, Buffalo Symphony Orchestra, Indianapolis Symphony Orchestra.
W 1979 wystąpił z Polską Orkiestrą Kameralną w Carnegie Hall w Nowym Jorku, w 1981 odbył z nią kolejne wielkie tournée koncertowe po Japonii, Australii, Nowej Zelandii, Stanach Zjednoczonych i Niemczech. W latach 1983-93 stał na czele BBC Scottish Symphony Orchestra w Glasgow. Z zespołem tym koncertował także w Polsce – w Krakowie, Wrocławiu, Bydgoszczy i w Warszawie, również – dwukrotnie – na Festiwalu "Warszawska Jesień": w 1985 (z utworami m.in. Iannisa Xenakisa, Igora Strawińskiego, Zbigniewa Penherskiego) oraz w 1987 (wykonano m.in. kompozycje Augustyna Blocha, Witolda Lutosławskiego, Arvo Pärta). W 1990 debiutował na koncertach BBC Proms w Royal Albert Hall w Londynie. Podjął też współpracę z English National Opera, z którą przygotował premiery "Don Giovanniego" Wolfganga Amadeusa Mozarta (w 1991) i "Zemsty nietoperza" Johanna Straussa (w 1993). Jego działalność w Wielkiej Brytanii, wysoko ceniona przez krytykę, przyniosła mu tytuły: doktora honoris causa Strathclyde University w Glasgow (1990) oraz honorowy tytuł Conductor Laureate BBC Scottish Symphony Orchestra (1993).
Jerzy Maksymiuk jest wybitnym promotorem muzyki współczesnej, jednym z założycieli Polskiego Towarzystwa Muzyki Współczesnej. Przez wiele lat współtworzył Festiwal "Warszawska Jesień", jako członek Komisji Repertuarowej. Z jego inicjatywy powstało wiele utworów dla Polskiej Orkiestry Kameralnej. Zdobył dwie Nagrody Krytyków Muzycznych Stowarzyszenia Polskich Artystów Muzyków (SPAM) "Orfeusz". W różnych krajach dokonał prawykonań około 200 współczesnych utworów. Elgar Society przyznało mu prestiżowy złoty medal za popularyzowanie muzyki Edwarda Elgara.