Andrzej Klimowski większość życia spędził w Wielkiej Brytanii. Jego rodzice, Polacy zaangażowani w sprawy emigracji, prowadzili m.in. archiwum Polski Podziemnej (ojciec był oficerem Armii Krajowej).
Klimowski pierwszy raz odwiedził Polskę, gdy miał jedenaście lat. Jak mówi, uderzyła go różnica pomiędzy pogonią za pracą i pieniądzem, jaką obserwował w Wielkiej Brytanii, a polską bezpieczną stabilizacją, niespiesznym trybem życia. Wówczas też po raz pierwszy był w teatrze i operze.
"Te przeżycia zaważyły na mojej wyobraźni" – wspomina.
Określenie "polski artysta" stosowane jest wobec Klimowskiego niekonsekwentnie, on sam podważa jego zasadność:
Jestem właściwie brytyjskim artystą. Myślę że podkreślanie polskości mojej pracy wynika z tego, że odbiega ona od angielskiej stylistyki i myślenia. [...] Jak mieszkałem w Warszawie, to mówiono, że moją grafikę cechuje angielski chłód. W Anglii z kolei opisują mnie jako barokowego surrealistę, co kojarzą z Polską. Ja jestem po prostu sobą i nie zastanawiam się nad tym, jak można mnie zakwalifikować. Niemniej jednak świadom jestem, że ikonografia centralnej czy też wschodniej Europy jest gdzieś tam zakodowana w mojej wrażliwości i wpływa na moją twórczość.
W latach 1968-1972 studiował rzeźbę i malarstwo w St. Martin School of Art w Londynie. Potem, między 1973 a 1980 rokiem, mieszkał i pracował w Warszawie. Uczęszczał do pracowni plakatu prof. Henryka Tomaszewskiego (1973–1974) i do pracowni filmu animowanego doc. Kazimierza Urbańskiego (1974–1975) na warszawskiej ASP. Tam poznał Danutę (Danusię) Schejbal – również urodzoną w Londynie, przyszłą żonę i współpracownicę.
Do Londynu wrócił w 1980 roku i od razu rozpoczął pracę na uczelni artystycznej. Jest zaangażowanym wykładowcą, sam przyznaje, że praca dydaktyczna "go wciągnęła". Wykładał grafikę warsztatową i projektowanie graficzne w College of Art w Canterbury (1981–1989) i College of Art and Design w West Surrey (1982–1984). Od 1984 roku uczy projektowania graficznego i ilustracji w londyńskim Royal College of Art. Od roku 1997 posiada tytuł profesora. Obecnie kieruje Programem Komunikacji Wizualnej (Visual Communication Programme) RCA.
Klimowski zajmuje się szeroko pojętym projektowaniem graficznym. Sięga w nim po techniki przynależne sztukom pięknym, jak rysunek, czy grafika warsztatowa (zwłaszcza linoryt). Porusza się swobodnie pomiędzy różnymi dyscyplinami sztuki. W Polsce jest znany głównie jako autor mrocznych, kolażowych plakatów (teatralnych, filmowych, operowych, wydawniczych), niewątpliwie inspirowanych polskim i rosyjskim fotomontażem międzywojennym oraz surrealnymi wizjami de Chirico czy Magritte'a, bezpośrednio zaś pozostających pod wpływem twórczości Romana Cieślewicza.
Sztuka Andrzeja Klimowskiego wyrasta z podobnego świata wyobrażeń, co nieme kino, czarny kryminał, obrazy Margitte'a i de Chirico, czy filmy Davida Lyncha. W pustce podmiejskiej dżungli rozgrywają się nasycone erotyzmem, dwuznaczne metamorfozy ludzi, owadów i architektury. Dziwne światło ni to słonecznego dnia, ni księżycowej nocy, postacie zawieszone w bezruchu między snem a jawą, atmosfera uroczystej tajemnicy i oczekiwania (na zbrodnię?), niepokojąca obecność rejestrującej ten stan rzeczy camery obscury - to świat, który nam się kiedyś przyśnił, nim nie rozpoznaliśmy go na litografiach Klimowskiego - piszą autorzy katalogu wystawy "Topor i spółka. Polscy współcześni artyści panicznej wyobraźni" (2004).
Plakaty artysty operują najczęściej wizerunkiem postaci ludzkiej, łączonej w hybrydy ("Omen", 1977), o powielonej twarzy ("Poza prawem", 1991), uskrzydlonej ("Przed odlotem", 1980), owadziej ("Alberto Méndez. Balety", 1979), ustawionej w niepokojących pozach ("Czas i pokój", 1993). Sugestywne, kolorowane fotografie, rastry, przeskalowania, przenikanie warstw - to paleta plakacisty Klimowskiego. Prace artysty ukazują świat mroku będącego udziałem każdego z nas, obszar lęków i instynktów ukrytych w każdej istocie ludzkiej.
- Jego niepokojące, poetyckie rysunki współtworzyły fenomen nowego polskiego rysunku prasowego lat siedemdziesiątych; jego kolorowe fotomontaże i plakaty (między innymi dla Teatru Narodowego w Warszawie i Royal Shakespeare Company), kontynuują najlepszą tradycję polskiego plakatu - oceniają autorzy wystawy "Topor i spółka".
Ogromną część działalności Klimowskiego stanowi projektowanie na potrzeby publikacji książkowych i prasy. Współpracował z wydawnictwami (Czytelnik, Nasza Księgarnia, Penguin, Faber&Faber, Everyman Library, Oberon Books), czasopismami ("Szpilki", "The Guardian") i z Telewizją Polską. Jest autorem okładek, ilustracji, ogłoszeń, projektów programów teatralnych. Współtworzy gatunek zwany graphic novel (powieść graficzna), polegający na użyciu ilustracji jako głównego lub jedynego medium opowiadania.
Jego książki, np. "Depository" (1994) i "The Secret" (2002), to powieści bez słów. "The Secret" zawiera ok. 300 ilustracji, wykonanych różnorodnymi, kontrastującymi ze sobą technikami. Prace te łączą malunek tuszem, zdyscyplinowany, kreślarski rysunek i kolaż fotograficzny. Użyty w powieści aparat – camera obscura – buduje poczucie istnienia różnych światów, których zasady współistnienia nie są jasne. Bohater doświadcza stałego poczucia zagrożenia, jest podglądany i sam podgląda.
– W moim opowiadaniu to, co zostało objęte przez aparaturę, znikało – tłumaczy autor.
Z racji panującego w niej niepokojącego nastroju powieść "The Secret" odczytywana bywa jako mroczna interpretacja wydarzeń dziejących się w komunistycznej Polsce.
Inna graphic novel, "Horace Dorlan" z 2007 roku, łączy w sobie tekst i ilustrację wykonaną czasochłonną i wyczerpującą, jak wspomina Klimowski, techniką linorytu.
Z kolei graficzna wersja "Mistrza i Małgorzaty" Michaiła Bułhakowa ("Master and Margarita: A graphic novel", 2008) to wspólne dzieło Klimowskiego i Danusi Szejbal. Nad książką pracowali razem, ale w oddzielnych pokojach. Potem spotykali się, by omówić rysunki. W ten sposób powstały dwa odmienne stylistycznie wątki: kolorowy, wykonany przez Danusię (Jerozolima i sceny teatralne) oraz czarno-biały autorstwa Andrzeja (Moskwa). Klimowski zaprojektował na potrzeby powieści specjalną czcionkę przeznaczoną do linorytu.
Opinie publiczności na temat takiego ukazania "Mistrza i Małgorzaty" były bardzo różnie. Wśród ogólnego aplauzu nie zabrakło głosów krytycznych: źle oceniano poziom ilustracji, zwłaszcza kolorowych, podkreślano niesamodzielność powieści graficznej względem pisarskiego oryginału, kłopoty z rytmem narracji. Pojawił się także zarzut, że sposób rozdzielenia wątków jest bardzo zbliżony do filmowej wersji utworu Bułhakowa autorstwa Vladimira Bortko z 2005 roku.
Druga powieść duetu Szejbal i Klimowski to "Dr. Jekyll and Mr. Hyde: A graphic novel" (2009) - graficzna adaptacja powieści Roberta L. Stevensona. Autorzy wybrali technikę rysunku ołówkami woskowymi, odpowiednią do zilustrowania scen osadzonych w zamglonym Londynie. Piórko i tusz posłużyły do narysowania dymków tekstowych, teksty pisane są ręcznie.
Andrzej Klimowski uczestniczył w szeregu wystaw zbiorowych m.in.: w Międzynarodowym Biennale Plakatu Teatralnego w Rzeszowie, Międzynarodowym Biennale Plakatu w Warszawie, Międzynarodowym Biennale Projektowania Graficznego w Brnie i Moscow International Book Festival.
Ma również na swym koncie wiele wystaw indywidualnych, ostatnio m.in. w Villi Bottini (Lucca, Włochy, 2000), Royal National Theatre (Londyn, 2001), The National Museum of Photography, Film and TV (Bradford, 2003) i Galerii Arsenał (Poznań, 2006).
Prace artysty znajdują się m.in. w zbiorach: Stedelijk Museum w Amsterdamie, Muzeum Narodowego w Warszawie i Poznaniu, Biblioteki Kongresu w Waszyngtonie.