Родилась в 1977 году в семье певицы Иоланты Жмурко и валторниста Рышарда Куржака. В 2000 году Александра Куржак (в русской транслитерации также Кужак, Курзак) с отличием окончила факультет вокала Музыкальной академии во Вроцлаве, а затем Гамбургскую высшую школу музыки и театра. Совершенствовала свои вокальные и актерские навыки в Международной оперной студии при Гамбургской опере. В 1998-2000 гг. получала стипендию Министра культуры и искусства, в 1999 г. – стипендию фонда «Crescendum Est – Polonia» Александра Гудзоватого.
Лауреат наград множества вокальных конкурсов в Польше и за рубежом. В 1998 году выиграла первый и специальный призы на пятом Межуниверситетском конкурсе вокалистов в городе Душники-Здруй, а также первый и специальный призы третьего Международного конкурса вокалистов им. Станислава Монюшко в Варшаве, где ее выступление признали лучшим дебютом года. В 1999 году вошла в число лауреатов и получила специальный приз молодых талантов в Международном конкурсе вокалистов им. Мирьям Хелин в Хельсинки; в 2000 году – приз Моцартеум и Приз зрительских симпатий на Международном конкурсе вокалистов им. Франсиско Виньяса в Барселоне, в 2000 году заняла третье место на Международном конкурсе вокалистов в Гуанчжоу (Китай), в 2002 году получила I премию Международного конкурса им. Элизы Мейер в Гамбурге. Она также была удостоена Награды Тысячелетия мэра Вроцлава (2000), Вроцлавской музыкальной премии (2000), Бронзового шпиля (2002) и Ежегодной премии министра культуры и национального наследия (2010).
Александра Куржак еще студенткой дебютировала в роли Сюзанны в «Женитьбе Фигаро» Моцарта на сцене Вроцлавской Оперы. В 2001 году в Большом театре – Национальной опере в Варшаве сыграла роль Ганны в «Страшном дворе» Станислава Монюшко. Она пела на самых престижных сценах мира, в том числе в Нью-Йоркской Метрополитен-опере (Олимпия в «Сказках Гофмана» Жака Оффенбаха, Блонда в «Похищении из Сераля» Моцарта, Джильды в «Риголетто» Джузеппе Верди), в лондонском Королевском оперном театре Ковент-Гарден (Аспазия в «Митридате, царе Понтийском» Моцарта, Норина в «Доне Паскуале» и Адина в «Любовном напитке» Гаэтано Доницетти, Сюзанна, главная роль Матильды в «Матильде ди Шабран» Джоаккино Россини), в Баварской государственной опере в Мюнхене (Клеопатра в «Юлии Цезаре» Георга Фридриха Генделя), в Государственной опере на Унтер-ден-Линден в Берлине (Царица ночи в «Волшебной флейте» Моцарта), в театре Реджио в Парме (Джильда), в театре Ла Скала в Милане (Джильда), в театре Капитолия в Тулузе (Джильда), в Уэльской Национальной Опере в Кардиффе (Аспазия) в Театре Ан дер Вин (Донна Анна в «Дон Жуане» Моцарта, Аменаида в «Танкреде» Россини), в Венской государственной опере (Розина в «Севильском цирюльнике» Россини), в Финской национальной опере в Хельсинки (Джильда), в Чикагской лирической опере (Блонда), на Зальцбургском фестивале (Ануся в «Вольном стрелке» Карла Марии фон Вебера), а также с оркестром НДР, Эссенским филармоническим оркестром, Гамбургским симфоническим оркестром, Гамбургским филармоническим оркестром, в Национальной академии Св. Сесилии в Риме.
С 2001 по 2007 г. она была солисткой Государственной оперы в Гамбурге. Выступала в таких операх, как «Волшебная флейта» (Царица ночи), «Женитьба Фигаро» (Сюзанна), «Милосердие Тита» (Сервилия) и «Похищение из Сераля» (Блонда) Моцарта, «Риголетто» (Джильда) и «Фальстаф» (Нанетта) Верди, «Летучая мышь» Иоганна Штрауса (Адела), «Кавалер розы» Рихарда Штрауса (Софи), «Фиделио» Людвига ван Бетховена (Марселина), «Гензель и Гретель» Энгельберта Хумпердинка (Гретель), «Богема» Джакомо Пуччини (Мюзетта), «Забавный принц Йоделет» Райнхарда Кейзера (Лаура), «Царь и плотник» Альберта Лорцинга (Мария), «Вольный стрелок» Вебера (Ануся), «Припудри ей лицо» Томаса Адеса (Мейд), «Турок в Италии» Россини (донна Фьорелла), «Дочь полка» Доницетти (Мария).
Александра Куржак сотрудничала с такими дирижерами, как Айвор Болтон, Бруно Кампанелла, Джеймс Конлон, сэр Эндрю Дэвис, Кристоф фон Донаньи, Риккардо Фрицца, Рафаэль Фрюбек де Бургос, Ричард Хикокс, Никола Луизотти, сэр Чарльз Маккерас, Алессандро де Марчи, Инго Метцмахер, Карло Рицци, Ральф Вайкерт, Симона Янг.