W 1955 uzyskał VIII nagrodę oraz nagrodę specjalną (pianino Calisia) dla najmłodszego polskiego laureata 5. Międzynarodowego Konkursu Pianistycznego im. Fryderyka Chopina. Po tym sukcesie wyjechał do Brukseli na studia pianistyczne pod kierunkiem Stefana Askenasego. Efektem tej współpracy był jego udział w 1956 w Konkursie Pianistycznym im. Królowej Elżbiety w Brukseli, podczas którego zdobył III nagrodę.
Koncertował w Europie, Stanach Zjednoczonych i Nowej Zelandii z najlepszymi orkiestrami świata pod batutą takich dyrygentów, jak André Cluytens, Karl Böhm, Carl Maria Giulini, Paweł Klecki, Fritz Reiner, Dmitrios Mitropoulos, Colin Davis, Antal Dorati, Hans Schmidt-Isserstedt, Carlo Zecchi. Na przełomie lat 50. i 60. dał 500 recitali fortepianowych, odnosząc oszałamiające sukcesy.
Jego repertuar fortepianowy obejmował utwory od Bacha do muzyki XX wieku (z wyjątkiem kompozycji Piotra Czajkowskiego, których nigdy nie grał). Dokonał także nagrań radiowych oraz dla firm fonograficznych, m.in. EMI, RCA Victor i Pathé Marconi (dzieła Johanna Sebastiana Bacha, Josepha Haydna, Wolfganga Amadeusa Mozarta, Franza Schuberta, Fryderyka Chopina, Gabriela Fauré). W późniejszych latach zaczął stopniowo ograniczać liczbę koncertów na rzecz kompozycji. W 1960 zamieszkał w Londynie, gdzie jego konsultantem w tej dziedzinie został Hans Keller.
W kompozytorskim dorobku Andrzeja Czajkowskiego przeważają utwory fortepianowe, jednak znajdziemy tam także pieśni, kompozycje na skład kameralny i jedną operę. Czajkowsi pracował nad nią od 1968 roku, aż do 1982 roku, kiedy umarł – oprócz kilku stron orkiestracji udało mu się ukończyć niemal całą operę. Autorem libretta opartego na tekście Williama Shakespeare'a był przyjaciel kompozytora, John O'Brien. ''Kupiec wenecki'' to utwór rozpisany na trzy akty i epilog, wykonywany jest przez orkiestrę, w której skład wchodzi fortepian i klawesyn. Po ponad 30 latach jedyną operę polskiego kompozytora i pianisty wziął "na warsztat" angielski reżyser David Pountney i wystawił na festiwalu w Bregencji.
''Koncert fortepianowy, napisany dla pianisty Radego Lupu pod koniec lat 60., jest odbiciem prądów artystycznych, które świdrowały wtedy Londyn. Atonalny i dramatyczny, jest surowy tylko w swoim umiarze - każda pojedyncza nuta znajduje się dokładnie na swoim miejscu'' - napisał Norman Lebrecht w recenzji albumu ''André Tchaikowsky. Volume One'' wydanego nakładem Toccata Classics.
Niepowtarzalnym źródłem wiedzy o kompozytorze jest książka ''...mój diabeł stróż. Listy Andrzeja Czajkowskiego i Haliny Janowskiej'', zawierająca niezwykle intymną i poruszającą korespondencję Czajkowskiego ze swoją wieloletnią przyjaciółką, Anitą Haliną Janowską. W 2015 roku książka ''...mój diabeł stróż'' doczekała się przekładu na język angielski. Hanna Krall uczyniła Czajkowskiego bohaterem swojego reportażu pod tytułem "Hamlet". Czajkowski zmarł na raka w Oxfordzie, w wieku 46 lat. Swoje ciało przekazał na badania medyczne, czaszkę natomiast oddał Royal Shakespeare Company z zastrzeżeniem, że ma być ona używana jako rekwizyt teatralny.